Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm，線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始）沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動，過點(diǎn)E作EF∥AC交AB于點(diǎn)F，連接DF，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）用含t的代數(shù)式表示線段EF的長度為 ；

（2）在運(yùn)動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，試說明理由；

（3）若點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)，請直接寫出在整個運(yùn)動過程中點(diǎn)M運(yùn)動路線的長．

Answer 1

【答案】（1）EF＝（t+4）（cm）；（2）當(dāng)t＝0、或秒時(shí)，△DEF為等腰三角形；（3）線段EF的中點(diǎn)M運(yùn)動路線的長為 m

【解析】

（1）因?yàn)槠叫校瑒tEF：CA＝BE：BC，且BE，AC，BC邊易知，則EF可表示．
（2）運(yùn)動過程中使△DEF為等腰三角形，則要考慮哪兩邊為腰，故要考慮三種情況，當(dāng)DF=EF時(shí)，當(dāng)DE=EF時(shí)，當(dāng)DE=EF時(shí)．分別討論易根據(jù)三角形相似、邊成比例及（1）中EF的值得到關(guān)于t的方程，解得即可．
（3）求運(yùn)動軌跡，首先要明白M點(diǎn)運(yùn)動的軌跡到底是什么情況，畫圖易猜想，此軌跡為MN．而因?yàn)檫\(yùn)動中的EF都與AC平行，故利用邊成比例可得AN=CN，故運(yùn)動過程中M點(diǎn)都在AC邊的中線上．因?yàn)槿�角形各邊已知且固定，根�?jù)勾股定理，相似等易得BN、BM，則MN可求．

（1）∵BD＝tcm，DE＝4cm，

∴BE＝BD+DE＝（t+4）cm，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴EF：CA＝BE：BC，

即EF：10＝（t+4）：16，

解得：EF＝（t+4）（cm）；．

（2）分三種情況討論：

①∵當(dāng)DF＝EF時(shí)，

∴∠EDF＝∠DEF，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵EF∥AC，

∴∠DEF＝∠C，

∴∠EDF＝∠B，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，

∴t＝0；

②，當(dāng)DE＝EF時(shí)，

則4＝（t+4），

解得：t＝；

③∵當(dāng)DE＝DF時(shí)，有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，

∴△DEF∽△ABC．

∴＝，

即＝，

解得：t＝；

綜上所述，當(dāng)t＝0、或秒時(shí)，△DEF為等腰三角形．

（3）線段EF的中點(diǎn)M運(yùn)動路線的長為 m．

分析如下：

如圖1，當(dāng)t=0秒時(shí)，B、D重合，連接BM并延長，交AC于N，過點(diǎn)A作，AP⊥BC于P，過點(diǎn)N作NQ⊥BC于Q．
∵EF∥AC，
∴ ，
∵FM=ME，
∴AN=NC，
∴MN就是點(diǎn)M運(yùn)動路線．
在Rt△APC中，
∵PC=BC=8cm，AC=10cm，
∴AP=6cm．
∵NQ∥AP，
∴CQ=PC=4cm．
在Rt△BNQ中，
∵NQ=AP=3cm，BQ=BC-CQ=16-4=12cm，
∴BN=3cm．
∵＝，
∴＝，
解得 BM=cm，
∴MN=BN-BM=cm．