Question

【題目】證明題
（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=-p ， x1 x2=q ．
（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)（-1，-1），設(shè)線段AB的長為d，當(dāng)p為何值時(shí)，d2取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

∵a=1，b=p，c=q

∴△=p2-4q

∴x=

即x1= ，x2=

∴x1+x2= + =-p，

x1x2= =q

（2）

解：把（-1，-1）代入得p-q=2，q=p-2

設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標(biāo)分別為（x1，0）、（x2，0）

∵d=|x1-x2|，∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4

當(dāng)p=2時(shí)，d2的最小值是4．

【解析】（1）先根據(jù)求根公式得出x1、x2的值，再求出兩根的和與積即可；（2）把點(diǎn)（-1，-1）代入拋物線的解析式，再由d=|x1-x2|可知d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=p2 ， 再由（1）中 x1+x2=-p ， x1x2=q即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解答本題的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．