Question

20．如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABC，交AE于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根據(jù)角平分線定義得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根據(jù)等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出答案；
（2）先求出BD的長，求出菱形的面積，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD=AB，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：過A作AM⊥BC于M，則AM的長是AE，BF之間的距離，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，
∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面積為$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴5×AM=24，
∴AM=$\frac{24}{5}$，
即AE，BF之間的距離是$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定的應(yīng)用，能熟記菱形的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．