Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）求這個二次函數(shù)的表達式．

（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

（4）如圖，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.

Answer 1

方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）   

將A、B、C三點的坐標代入得    

解得：                     

所以這個二次函數(shù)的表達式為：

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）

設(shè)該表達式為：                

將C點的坐標代入得：                          

所以這個二次函數(shù)的表達式為：          

（注：表達式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）

方法一：存在，F(xiàn)點的坐標為（2，－3）           

理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：

∴E點的坐標為（－3，0）                              

由A、C、E、F四點的坐標得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

∴存在點F，坐標為（2，－3）                   

方法二：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：

∴E點的坐標為（－3，0）                        

∵以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

∴F點的坐標為（2，－3）或（2，3）或（－4，3）  

代入拋物線的表達式檢驗，只有（2，－3）符合

∴存在點F，坐標為（2，－3）                        

（3）如圖，

①當直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），

代入拋物線的表達式，解得

②當直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r>0），

則N（r+1，－r），

代入拋物線的表達式，解得  

∴圓的半徑為或．  

（4）

過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，

易得G（2，－3），直線AG為．

設(shè)P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．

              

當時，△APG的面積最大

此時P點的坐標為，．