Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²+2x+m²+2的開口向下，且拋物線與y軸的交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（B在C左側(cè)）．點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AB的解析式；
（3）將拋物線在點(diǎn)C左側(cè)的圖形（含點(diǎn)C）記為G．若直線y=kx+n（n＜0）與直線AB平行，且與圖形G恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象寫出n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）直接把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=mx²+2x+m²+2中可得到滿足條件的m的值，從而得到拋物線解析式；
（2）先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到B（-1，0），C（0，3），然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；
（3）利用兩直線平行得到y(tǒng)=3x+n，再計(jì)算出此直線過C點(diǎn)時(shí)n=-9，由于n＜0，且直線y=3x+n與圖形G恰有一個(gè)公共點(diǎn)，所以只能把直線y=3x-9向下平移才能滿足條件，則n＜-9．

解答：解：（1）把A（0，3）代入y=mx²+2x+m²+2得m²+2=3，解得m₁=1，m₂=-1，
而拋物線開口向下，
所以m=-1，
所以拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則B（-1，0），C（0，3），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（0，3），B（-1，0）分別代入得

k=3 b=3

，
所以直線AB的解析式為y=3x+3；
（3）∵直線y=kx+n（n＜0）與直線AB平行，
∴k=3，
當(dāng)y=3x+n過點(diǎn)C（3，0）時(shí)，n=-9，
∵n＜0，且直線y=3x+n與圖形G恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴n＜-9．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．