Question

16．如圖：已知拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，并與直線y=$\frac{1}{2}$x-2交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線y=$\frac{1}{2}$x-2與y軸交點(diǎn)，連接AC，
（1）求拋物線解析式；
（2）證明：△ABC為直角三角形；
（3）在拋物線CB段上存在點(diǎn)P使得以A，C，P，B為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)以及此時(shí)以A，C，P，B為頂點(diǎn)的四邊形面積．

Answer 1

分析 （1）由直線y=$\frac{1}{2}$x-2交x軸、y軸于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)可求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、c的方程組，從而可求得a、c的值；
（2）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后依據(jù)勾股定理可求得AC和BC的長(zhǎng)，最后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ABC為直角三角形；
（3）設(shè)出點(diǎn)P與點(diǎn)D的坐標(biāo)，可求得PD的長(zhǎng)（用含a的式子表示），依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)a=2時(shí)，PD的最大值為2，由三角形的面積公式可知DP有最大值時(shí)，△BCD的面積最大，由于△ABC的面積為定值，故此時(shí)四邊形ACPB的面積最大．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$x-2交x軸、y軸于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c經(jīng)過點(diǎn)B，C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-6+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）∵令$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得：x₁=-1，x₂=4，
∴OA=1，OB=4．
∴AB=5．
∴AC²=OA²+0C²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=25．
∴AC²+BC²=AB²．
∴△ABC為直角三角形．
（3）如圖1所示：連接CD、BD，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，直線EP交線段BC與點(diǎn)D．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b．
∵將B（4，0），C（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}x-2$．
設(shè)點(diǎn)D（a，$\frac{1}{2}a-2$），則點(diǎn)P（a，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）．
∵PD=PE-DE=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2+（$\frac{1}{2}a$-2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a，
∴當(dāng)a=2時(shí)，PD有最大值，PD的最大值=2．
∵四邊形ACPB的面積=S_△ACB+S_△CBP=$\frac{1}{2}AB•OC$+$\frac{1}{2}OB•DP$=$\frac{1}{2}$×5×2+$\frac{1}{2}$×4×DP=5+2PD．
∴當(dāng)PD最大時(shí)，四邊形ACPB的面積最大．
∴當(dāng)P的坐標(biāo)為（2，-3）時(shí)，四邊形ACPB的面積的最大值=5+2×2=9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面積公式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，列出四邊形PD與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．