Question

如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是經過點A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）求證：BD=AE．
（2）若將MN繞點A旋轉，使MN與BC相交于點G （如圖2），其他條件不變，求證：BD=AE．
（3）在（2）的情況下，若CE的延長線過AB的中點F（如圖3），連接GF，求證：∠AFE=∠BFG．

Answer 1

證明：（1）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE；

（2）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAD+∠CAE=90°，
∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE；

（3）過B作BP∥AC交MN于P，
∵BP∥AC，
∴∠PBA+∠BAC=90°，
∴∠BAC=90°，
∴∠PBA=∠BAC=90°，
由（2）得：∠BAP=∠ACF，
∴在△ACF和△ABP中，
，
∴△ACF≌△ABP（ASA），
∴∠AFC=∠BPA，AF=BP
∵BF=AF，
∴BF=BP，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
又∵∠PBA=90°，
∴∠PBG=45°，
∴∠ABC=∠PBG，
在△BFG和△BPG中，
，
∴△BFG≌△BPG（SAS），
∴∠BPG=∠BFG，
∵∠BPG=∠AFE，
∴∠BFG=∠AFE．
分析：（1）首先證明∠1=∠2，再證明△ADB≌△CEA，然后根據全等三角形的性質可得BD=AE；
（2）首先證明∠BAD=∠ACE，再證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形對應邊相等可得BD=AE；
（3）首先證明△ACF≌△ABP，然后再證明△BFG≌△BPG，再根據全等三角形對應角相等可得∠BPG=∠BFG，再根據等量代換可得結論∠BFG=∠AFE．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質定理，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．