Question

小龍訓(xùn)練上樓梯，他每步可上1階或2階或3階，但不能連續(xù)4步都上3階，而且不能踏到第12階，那么小龍上到第14階的不同上法共有

 

種．

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)方法

專題：計(jì)算題

分析：如果用n表示臺(tái)階的級(jí)數(shù)，a_n表示某人走到第n級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有可能不同的走法，求出當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)不同的走法，找出規(guī)律即可求解．

解答：解：如果用n表示臺(tái)階的級(jí)數(shù)，a_n表示某人走到第n級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有可能不同的走法，容易得到：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然只要1種跨法，即a₁=1．
②當(dāng)n=2時(shí)，可以一步一級(jí)跨，也可以一步跨二級(jí)上樓，因此，共有2種不同的跨法，即a₂=2．
③當(dāng)n=3時(shí)，可以一步一級(jí)跨，也可以一步三級(jí)跨，還可以第一步跨一級(jí)，第二步跨二級(jí)或第一步跨二級(jí)，第二步跨一級(jí)上樓，因此，共有4種不同的跨法，即a₃=4．
④當(dāng)n=4時(shí)，分三種情況分別討論：
如果第一步跨一級(jí)臺(tái)階，那么還剩下三級(jí)臺(tái)階，由③可知有a₃=4（種）跨法．
如果第一步跨二級(jí)臺(tái)階，那么還剩下二級(jí)臺(tái)階，由②可知有a₂=2（種）跨法．
如果第一步跨三級(jí)臺(tái)階，那么還剩下一級(jí)臺(tái)階，由①可知有a₁=1（種）跨法．
根據(jù)加法原理，有a₄=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7．
類推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=a₄+a₅+a₆=44；
a₈=a₅+a₆+a₇=81；
a₉=a₆+a₇+a₈=149；
a₁₀=a₇+a₈+a₉=274；
a₁₁=a₈+a₉+a₁₀=504；
a₁₂=0；
a₁₃=a₁₀+a₁₁=778；
a₁₄=a₁₁+a₁₃=1282；
故答案為：1282．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了計(jì)數(shù)的方法：排列與組合問(wèn)題，分別根據(jù)排列與組合原理求出當(dāng)n=1，2，3，4…時(shí)不同的走法，找出規(guī)律，是解答此題的關(guān)鍵．