Question

17．如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE．

（1）若AF是△ABE的中線，且AF=5，AE=6，連接DF，求DF的長；
（2）若AF是△ABE的高，延長AF交BC于點(diǎn)G．
①如圖2，若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接EG，求證：AG+EG=BE；
②如圖3，若點(diǎn)E是AC邊上的動點(diǎn)，連接DF．當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上（不含端點(diǎn)）運(yùn)動時，∠DFG的大小是否改變，如果不變，請求出∠DFG的度數(shù)；如果要變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求得BE，在Rt△ABE中可求得AB，則可知AC長，再利用中位線定理可求得DF；
（2）過點(diǎn)C作CM⊥AC交AG延長線于點(diǎn)M，易證△ABE≌△CAM，可得AE=CM，∠AEB=∠M，AM=BE，即可證明△EGC≌△MCG，可得EG=GM，于是問題得證；
（3）過點(diǎn)D作DN⊥DF，交AG的延長線于點(diǎn)N，根據(jù)條件可證明△BDF≌△ADN，可證明DF=DN，可證△DFN為等腰直角三角形，可求得∠DFG的度數(shù)．

解答 解：（1）在Rt△ABE中，AF是中線，
∴AF=$\frac{1}{2}$BE，
∵AF=5，
∴BE=10，
在Rt△ABE中，AE=6，BE=10，可求得AB=8，
又∵AB=AC，∴AC=8，
∴CE=AC-AE=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，
∴DF=$\frac{1}{2}$CE=1；
（2）如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥AC，交AG的延長線于點(diǎn)M，則∠ACM=90°，

又∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ACM，
∵AF是△ABE的高，
∴∠AFB=90°，
∴∠1+∠BAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠BAF=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠ACM}\\{AB=AC}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，BE=AM，
又點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，
∴CE=AE=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
又∵∠ACM=90°，
∴∠MCG=45°=∠ACB，
在△CEG和△CMG中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CM}\\{∠ECG=∠MCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$
∴△CEG≌△CMG（SAS），
∴EG=GM，
又BE=AM，
∴AG+EG=AG+GM=AM=BE；
（3）如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥DF，交AG的延長線于點(diǎn)N，則∠NDF=90°，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°=∠NDF，
∴∠ADB+∠ADF=∠NDF+∠ADF，即∠BDF=∠ADN，
∵∠ADB=∠AFB=90°，∠5=∠6，
∴∠3=∠4，
在Rt△ABC中，BD=DC，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=BD，
在△BDF和△ADN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADN}\\{BD=AD}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADN（ASA），
∴DF=DN，
又∠NDF=90°，
∴∠DFN=∠DNF=45°，
即∠DFG=45°．

點(diǎn)評 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及中位線定理等．在（2）、（3）問中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，特別是第（2）、（3）問難度很大．