Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…
（1）猜想并寫出：

1

n×(n+1)

=

 

．
（2）計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

（3）探究并計算：
①

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

②

5

6

-

7

12

+

9

20

-

11

30

+…-

99

2450

．

Answer 1

考點：有理數(shù)的混合運(yùn)算

專題：規(guī)律型

分析：（1）先根據(jù)題中所給出的列子進(jìn)行猜想，寫出猜想結(jié)果即可；
（2）根據(jù)（1）中的猜想計算出結(jié)果；
（3）①根據(jù)乘法分配律提取

1

4

，再計算即可求解；
②先拆項，再抵消即可求解．

解答：解：（1）

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

；

（3）①

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

=

1

4

×（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1006×1007

）
=

1

4

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1006

-

1

1007

）
=

1

4

×（1-

1

1007

）
=

1

4

×

1006

1007

=

503

2014

；

②

5

6

-

7

12

+

9

20

-

11

30

+…-

99

2450

=

1

2

+

1

3

-

1

3

-

1

4

+

1

4

+

1

5

-

1

5

-

1

6

+…-

1

49

-

1

50

=

1

2

-

1

50

=

12

25

．
故答案為：

1

n

-

1

n+1

．

點評：本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．