Question

16．如圖，菱形ABCD的邊長為8，∠BAD=60°，點(diǎn)E在AB上運(yùn)動，點(diǎn)F在BC上運(yùn)動（E，F(xiàn)兩點(diǎn)可以和菱形的頂點(diǎn)重合），且EF=4，點(diǎn)N是線段EF的中點(diǎn)，ME⊥AC垂足為M，則MN的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長EM交AD于K，連接FK，先證明MN=$\frac{1}{2}$KF，KF最小時(shí)MN最小，當(dāng)KF⊥AD時(shí)KF最小，根據(jù)菱形的面積公式即可解決問題．

解答 解：延長EM交AD于K，連接FK，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
∵EM⊥AC，
∴∠AME=∠AMK=90°，
∴∠AEK+∠EAM=90°，∠AKM+∠MAK=90°，
∴∠AEK=∠AKE，
∴AE=AK，EM=KM，
∵EN=NF，
∴MN=$\frac{1}{2}$KF，
∴當(dāng)KF⊥AD時(shí)，KF的值最小，
∵∠BAD=60°，AB=AD=8，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABD=AD•FK，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8²=8×FK，
∴FK=4$\sqrt{3}$，
∴MN的最小值=$\frac{1}{2}$KF=2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)和判定、三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造中位線，利用三角形中位線解決問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考常考題型．