Question

P、Q、R、S四個(gè)小球分別從正方形ABCD的四個(gè)定點(diǎn)A、B、C、D點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB、BC、CD、DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B、C、D、A．
（1）不管滾動(dòng)多長時(shí)間，求證：四邊形PQRS為正方形；
（2）連接對(duì)角線AC、BD、PR、SQ，你發(fā)現(xiàn)四條對(duì)角線有何關(guān)系？
（3）根據(jù)此圖，若有四個(gè)全等的直角三角形，你能否拼成一個(gè)正方形？若這個(gè)三角形直角邊為a、b，斜邊為c，你能否根據(jù)面積推導(dǎo)出勾股定理？

Answer 1

證明：（1）四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P、Q、E、F分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣速度向B、C、D、A移動(dòng)可得AP=BQ=CR=DS，PB=QC=FD=SA．
可得△APS≌△BQP≌△CFQ≌△DFS，
得PQ=QF=FS=SP．
∠SPA=∠PQB．
又∠PQB+∠QPB=90°，
所以∠FPA+∠QPB=90°，∠FPQ=90°．
所以PQEF為正方形．

（2）四條對(duì)角線相交于一點(diǎn)，且互相平分．

（3）能拼成一個(gè)正方形．用面積的方法來證明
直角邊分別是a，b．斜邊是c，
整個(gè)大正方形的面積應(yīng)該是（a+b）²
而一個(gè)一個(gè)進(jìn)行分解計(jì)算，4個(gè)小三角形的面積是4×ab=2ab．
中間的正方形面積是c²
則（a+b）²=2ab+c²，分解開就可以得到a²+b²=c²．
分析：（1）可先證明△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE，得PQ=QE=EF=FP；再證∠FPQ=90°；
（2）用面積的方法來證明，拼出的大正方形的面積，既可以用正方形面積公式求得，也可以用中間四個(gè)小三角形和小正方形的面積和來表示，列出相等關(guān)系，即可求證．
點(diǎn)評(píng)：此題主要讓學(xué)生熟悉且會(huì)用趙爽的證法證明勾股定理．