Question

如圖：已知D為等腰直角△ABC斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），連結(jié)AD，△ADE是等腰直角三角形，DE為斜邊，連結(jié)CE．
①判斷∠ECD的度數(shù)并說明理由．
②當(dāng)△ABC、△ADE都是等邊三角形，D點(diǎn)為△ABC中BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△DCE的周長(zhǎng)最��？請(qǐng)?zhí)角簏c(diǎn)D的位置，并說明理由及求出此時(shí)∠EDC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出△ABD≌△ACE（SAS），進(jìn)而得出答案即可；
（2）理由等邊三角形性質(zhì)結(jié)合（1）的做法得出△ABD≌△ACE，進(jìn)而得出當(dāng)△DCE的周長(zhǎng)最小即DE最短即可，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）∠ECD=90°，
理由：∵如圖1所示：
△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠DAC+∠CAE=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠ECD=45°+45°=90°．

（2）點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△DCE的周長(zhǎng)最��；
理由：如備用圖所示：
∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠DAE=60°，∠BAD+∠DAC=60°，∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴EC=BD，
∴DC+EC=BC，即DC+EC是固定長(zhǎng)度，
當(dāng)△DCE的周長(zhǎng)最小即DE最短即可，
∵當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最短則DE最短，
∵△ABC是等邊三角形，
∴當(dāng)AD⊥BC，則BD=CD，即D為BC的中點(diǎn)時(shí)，△DCE的周長(zhǎng)最小，
∵BD=DC，BD=CE，
∴CD=EC，
∵∠ABC=∠ACE=∠ACD=60°，
∴∠DCE=120°，
∴∠EDC=∠CED=30°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ABD≌△ACE是解題關(guān)鍵．