Question

學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，也可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sad A=

1

2

．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．
根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：
（1）填空：sad60°=

1

，sad90°=

2

，sad120°=

3

；
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是

0＜sadA＜2

；
（3）如圖，已知sinA=

3

5

，其中A為銳角，試求sadA的值；
（4）設(shè)sinA=k，請直接用k的代數(shù)式表示sadA的值為

2-2 1-k2

．

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)A=60°，三角形為等邊三角形，底邊與腰相等；當(dāng)A=90°，三角形為等腰直角三角形，底邊是腰的

2

倍；當(dāng)A=120°，作底邊上的高，底角為30°，易求得底邊是腰的

3

倍，然后根據(jù)等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）即可得到答案；
（2）0°＜A＜180°，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到兩腰之和大于底邊即可得到0＜sadA＜2；
（3）過B作BD⊥AC于D，設(shè)BD=3x，AB=5x，利用勾股定理計算出AD=4x，則DC=x，在Rt△BDC中根據(jù)勾股定理求出BC，然后根據(jù)頂角的正對定義求值即可；
（4）與（3）的計算方法一樣．

解答：解：（1）1；

2

；

3

；

（2）0＜sadA＜2；

（3）過B作BD⊥AC于D，如圖，
∴sinA=

3

5

=

BD

AB

，
設(shè)BD=3x，AB=5x，
∴AD=

(5x)2-(3x)2

=4x，
∴DC=5x-4x=x，
在Rt△BDC中，BC=

BD2+DC2

=

(3x)2+x2

=

10

x，
∴sadA=

BC

AB

=

10

5

；

（4）如上圖，
sinA=k，BD=kAB，
∴AD=

AB2-BD2

=

1-k2

AB，
∴DC=AC-AD=（1-

1-k2

）AB，
∴BC=

BD2+DC2

=

2-2 1-k2

AB，
∴sadA=

BC

AB

=

2-2 1-k2

．
故答案為

2-2 1-k2

．

點評：本題考查了解直角三角形：利用三角函數(shù)的定義和勾股定理求出三角形中未知的角和邊．