Question

(1)已知a₁，a₂，a₃為三個整數(shù)，且a₁≤a₂≤a₃，三個數(shù)中的每一數(shù)均為其它兩數(shù)的乘積，求所有滿足條件的三數(shù)組(a₁，a₂，a₃)．

(2)如果a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆為6個整數(shù)，且a₁≤a₂≤a₃≤a₄≤a₅≤a₆，六個數(shù)中任一個數(shù)均為其它五個數(shù)中某四個數(shù)的乘積，那么滿足上述條件的數(shù)組(a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆)共有多少組？請說明理由．

Answer 1

(1)由題意知a₁=a₂a₃，a₂=a₁a₃，a₃=a₁a₂，三式相乘得a₁a₂a₃=(a₁a₂a₃)²

∴a₁a₂a₃=0或a₁a₂a₃=1

即a²₁=0或a²₁=1

∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1

當a₁=0時，a₂=a₃=0

當a₁=1時，a₂=a₃=1

當a₁=-1時，a₂=-1，a₃=-1

∴共有三個這樣的三數(shù)組(0，0，0)，(1，1，1)，(-1，-1，-1)．

(2)取a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的絕對值并按大小順序排列，不妨設為0≤b₁≤b₂≤b₃≤b₄≤b₅≤b₆，則b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆也滿足題意要求．

①若b₁=0，則b₂，b₃，b₄，b₅，b₆中至少有一個為0，即b₂=0．由于b₁=b₂=0，∴b₃=b₄=b₅=b₆=0，∴a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=0

②若b₁≠0，則b₁=b₂b₃b₄b₅或b₁=b₃b₄b₅b₆≥b₂b₃b₄b₅

∴b₁≥b₂b₃b₄b₅

又b₆=b₂b₃b₄b₅或b₆=b₁b₂b₃b₄≤b₂b₃b₄b₅

∴b₁=b₂=b₃=b₄=b₅=b₆，b₁=b⁴₁，b₁=1即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的絕對值均為1，它們只能是+1或-1．

i)a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=1符合條件．

ii)若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中有-1，則最少有2個-1，最多有5個-1．

即(-1，-1，1，1，1，1)，(-1，-1，-1，1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，-1，1)均符合條件．

∴符合條件的數(shù)組共有6組．