Question

在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B（0，6）．動點P自原點O向A點運動，速度為1個單位/秒；動點Q自原點O沿折線O-B-A運動，速度為2個單位/秒；P、Q兩點同時運動，設運動時間為t秒，P點到達A點時終止運動．
（1）當Q點在線段BA上運動時，請直接用t表示Q點的坐標．
（2）當t＞3時，求tan∠QPO的值．
（3）在整個運動過程中是否存在這樣的t值，使得△OQP是直角三角形？如果存在，請求出t的取值范圍或相應的t值；如果不存在，請說明理由．
（4）當t為何值時，△OPQ是以OQ為腰的等腰三角形？請直接寫出此時的t值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，設Q（a，b），利用直角三角函數(shù)的定義來求點Q的坐標．
（2）如圖1，當t＞3時，點Q在線段AB上．在Rt△PQD中，利用∠QDO的正切函數(shù)的定義來解答即可；
（3）需要分類討論：①當點Q在OB邊上運動時，△OQP總是直角三角形；②當點Q在邊BA上運動時，如圖1，只有∠OQP=90°，然后利用（2）中的正切函數(shù)值來求t的取值；
（4）需要分類討論：①當OQ=OP時，以求得t值；②當OQ=OP時，如圖3，來求t的值．

解答：解：（1）如圖1，點Q在線段AB上，設Q（a，b）．過點Q作QC⊥OB于點C，過點Q作QD⊥OA于點D．
∵點A（8，0），點B（0，6）．
∴OB=6，OA=8．
∴在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理求得AB=10．
∵CQ∥OA，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2，即

OA

AB

=

CQ

BQ

，
∴

8

10

=

a

2t-6

，
解得，a=

8t-24

5

．
又∵sin∠2=

OB

AB

=

b

10-(2t-6)

，即

6

10

=

b

16-2t

，
解得b=

48-6t

5

，
∴Q點坐標為（

8t-24

5

，

48-6t

5

）；

（2）如圖1，當t＞3時，點Q在線段AB上．
由（1）知，OD=a=

8t-24

5

∴PD=OP-OD=t-a=

24-3t

5

，
又由（1）知，QD=b=

48-6t

5

，
∴tan∠QPO=

QD

PD

=

48-6t 5

24-3t 5

=2，即tan∠QPO=2；

（3）當點Q在OB邊上運動時，△OQP總是直角三角形，此時0＜t≤3；
當點Q在邊BA上運動時，如圖1，只有∠OQP=90°，過Q點作QH⊥OA，垂足為H，
則tan∠QPO=tan∠OQH=

OH

QH

=2，
∴

8t-24

5

：

48-6t

5

=2，
解得t=6．
∴當0＜t≤3或t=6時，△OQP是直角三角形；

（4）當OQ=PQ時，易求t=

48

11

；
當OQ=OP時，如圖3，過O點作OM⊥PQ，垂足為M；過Q點作QH⊥OP，垂足為H．
設HP=x，則QH=2x，QP=

5

x，QM=PM=

5

2

x，OM=

5

x，OP=

5

2

x，OH=

3

2

x，
∴OH：OP=3：5，

8t-24

5

：t=3：5解得t=4.8．
當t=

48

11

或4.8時，△OPQ是以OQ為腰的等腰三角形．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．注意“數(shù)形結合”與“分類討論”的數(shù)學思想在本題解答過程中的應用．