Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=1，并且經(jīng)過（-2，-5）和（5，-12）兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C 點，D是線段BC上一點（不與點B、C重合），若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似，求點D的坐標(biāo)；
（3）點P在y軸上，點M在此拋物線上，若要使以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組，求出a、b、c的值即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出與x軸、y軸的交點，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，結(jié)合勾股定理解答即可；
（3）畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到M點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得

- b 2a =1 4a-2b+c=-5 25a+5b+c=-12.

，
解這個方程組，得

a=-1 b=2 c=3.

，（1分）
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．（2分）

（2）令y=0，得-x²+2x+3=0．
解這個方程，得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°．
∴BC=

OB2+OC2

=

32+32

=3

2

．
過點D作DE⊥x軸于點E．
∵∠OBC=45°，
∴BE=DE．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠ABC=∠OBD，則只需

BD

BC

=

BO

BA

或

BO

BC

=

BD

BA

成立．
若

BD

BC

=

BO

BA

成立，
則有BD=

BO×BC

BA

=

3×3 2

4

=

9 2

4

．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+DE2=2BE2=BD2=(

9 2

4

)2．
∴BE=DE=

9

4

．
∴OE=OB-BE=3-

9

4

=

3

4

．
∴點D的坐標(biāo)為(

3

4

，

9

4

)．（4分）
若

BO

BC

=

BD

BA

成立，則有BD=

BO×BA

BC

=

3×4

3 2

=2

2

．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+DE2=2BE2=BD2=(2

2

)2．
∴BE=DE=2．
∴OE=OB-BE=3-2=1．
∴點D的坐標(biāo)為（1，2）．（5分）
∴點D的坐標(biāo)為(

3

4

，

9

4

)或（1，2）；

（3）點M的坐標(biāo)為（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．（8分）

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象與x軸、y軸交點的求法等知識點．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，畫出相關(guān)圖形，是解題必不可少的環(huán)節(jié)．