Question

【題目】如圖，A（﹣，0），B（﹣，3），∠BAC＝90°，C在y軸的正半軸上．

（1）求出C點坐標；

（2）將線段AB沿射線AC向上平移至第一象限，得線段DE，若D、E兩點均在雙曲線y＝上，

①求k的值；

②直接寫出線段AB掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2）①12；②

【解析】

（1）過點B作x軸的垂線，構造三垂直相似模型，由對應邊成比例求得OC的長度．
（2）①由平移的性質可知，AB∥DE，AD∥BE，即D、E橫縱坐標差與A、B橫縱坐標差相等．因為沿射線AC平移，求直線AC的解析式，用d表示點D坐標，再用d表示點E坐標，由D、E在雙曲線上，列得關于d、k的方程，進而求得k．
②由平移性質可知四邊形ABED是平行四邊形，又∠BAC=90°，即為矩形，所以線段AB掃過的面積即為矩形ABED的面積，用兩點間距離公式求出AB、AD長度即求出面積．

解：（1）過點B作BH⊥x軸于點H，

∴∠BHA＝∠BAC＝∠AOC＝90°

∴∠B+∠BAH＝∠BAH+∠OAC＝90°

∴∠B＝∠OAC

∴△BAH∽△ACO

∴

∵A（﹣，0），B（﹣，3）

∴OA＝，OH＝，BH＝3

∴AH＝OH﹣OA＝＝2

∴CO＝

∴點C坐標為（0，）

（2）①∵線段AB沿射線AC向上平移至第一象限

∴點A對應點D在直線AC上，AD∥BE，

∴xD﹣xE＝xA﹣xB＝2，yE﹣yD＝yB﹣yA＝3

設直線AC解析式為：y＝ax+b

解得：

∴直線AC解析式為：

設點D坐標為（d，），

則xE＝xD﹣2＝d﹣2，yE＝yD+3＝

即點E（d﹣2，）

∵點D、E在函數(shù)y＝圖象上（k＞0）

∴

解得：d＝4

∴k＝4×（×4+）＝12

②∵A（﹣，0），B（﹣，3），D（4，3）

∴AB＝，AD＝

∵AB∥DE，AD∥BE

∴四邊形ABED是平行四邊形

∵∠BAC＝90°

∴ABED是矩形

∴S矩形ABED＝ABAD＝

∴線段AB掃過的面積為