Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（0，3），C（-1，0），將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．設(shè)直線BB′與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，拋物線y=ax²+2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、M、N．解答下列問(wèn)題：
（1）分別求出直線BB′和拋物線所表示的函數(shù)解析式；
（2）將△MON沿直線MN翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)P處，請(qǐng)你判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說(shuō)明理由；
（3）將拋物線進(jìn)行平移（沿上下或左右方向），使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C′，求此時(shí)拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）由題意得，B（-1，3），B'（3，1），
∴直線BB′的解析式為，
直線BB′與x軸的交點(diǎn)為M（5，0），與y軸的交點(diǎn)N（0，），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），
∵拋物線過(guò)點(diǎn)N，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為=；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），連接OP，PM，OP交NM于E，
∵O、P關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，），M（5，0），
∴MN===，OE===，
∴OP=2OE=2，
∴OP==2①，
PM==5②，
①②聯(lián)立，解得，
把x=2代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x²+2x+得，y=，
∴點(diǎn)P不在此二次函數(shù)的圖象上；

（3）若拋物線上下平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)C'，此時(shí)解析式為，
當(dāng)y=1時(shí)，，
∴，=，
若拋物線向左平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)C'，平移距離為，
此時(shí)解析式為=，
若拋物線向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)C'，
此時(shí)解析式為．
分析：（1）由題意可知B，B′的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式．由一次函數(shù)解析式可得到M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），連接OP，PM，由對(duì)稱的性質(zhì)可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的長(zhǎng)，由三角形的面積公式得出OE的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出x、y的值，把x的值代入二次函數(shù)關(guān)系式看是否適合即可；
（3）可上下平移，橫坐標(biāo)等于C′的橫坐標(biāo)，左右平移，縱坐標(biāo)等于C′的縱坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：一般用待定系數(shù)法來(lái)求函數(shù)解析式；抓住坐標(biāo)系里點(diǎn)的平移的特點(diǎn)：圖象左右平移，只改變橫坐標(biāo)；圖象上下平移，只改變縱坐標(biāo)．