Question

如圖，直線AB與⊙O相切于點C，AO交O于點D，連接CD，
（1）求證：∠COD=2∠ACD；
（2）若CD=，⊙O的半徑r=3．求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OE⊥CD，垂足為E，根據OC=OD，可得出△OCD是等腰三角形，結合切線的性質，利用等角代換可得出結論．
（2）過D作DG⊥AC于G，先證△OCE∽△CDG，求出DG=；再證△AGD∽△ACO，求出AD=2，進而得出AO=5；最后由勾股定理得出AC=4．
解答：（1）證明：過O作OE⊥CD，垂足為E，
∴∠COE=∠DOE=∠COD，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∵直線AB與⊙O相切于點C，
∴∠ACD+∠OCE=90°，
∴∠ACD=∠COE，
∴∠COD=2∠ACD；

（2）解：過D作DG⊥AC于G，
∵∠ACD=∠COE，
∴△OCE∽△CDG，
∵CD=，r=3．
∴DG=；
∵∠DAG=∠OAC，
∴△AGD∽△ACO，
∴AD=2，
∴AO=5；
∴AC=4．
點評：本題考查了切線的性質、相似三角形的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握．