Question

（1）如圖所示，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連接FG，延長AF，AG，與直線BC分別交于點M、N，那么線段FG與△ABC的周長之間存在的數(shù)量關系是什么？
即：FG=

 

（AB+BC+AC）
（直接寫出結果即可）

（2）如圖，若BD，CE分別是△ABC的內角平分線；其他條件不變，線段FG與△ABC三邊之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．

（3）如圖，若BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線，其他條件不變，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的猜想即可．不需要證明．答：線段FG與△ABC三邊之間數(shù)量關系是

 

．

Answer 1

分析：（1）延長AG交BC于N，延長AF交BC于M，根據(jù)AF⊥BD，AG⊥CE，求證Rt△AGC≌Rt△NGC，可得AC=CN，AG=NG，同理可證：AF=FM，AB=BM．然后得出GF是△AMN的中位線即可．
（2）根據(jù)GF是△AMN的中位線，利用AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，利用等量代換即可．
（3）BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線，即可求得GF=

1

2

（AC+BC-AB）

解答：（1）FG=

1

2

（AB+BC+AC）；

（2）答：FG=

1

2

（AB+AC-BC）；
證明：延長AG交BC于N，延長AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC=CN，AG=NG
同理可證：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位線
∴GF=

1

2

MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=

1

2

MN=

1

2

（AB+AC-BC）；

（3）線段FG與△ABC三邊之間數(shù)量關系是：GF=

1

2

（AC+BC-AB）．

點評：此題主要考查三角形中位線定理和全等三角形的判定與性質等知識點，有一定的拔高難度，是一道典型的題目