Question

2．如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，點(diǎn)G在BC邊上，EG⊥AE，GF⊥BD，若BF=3DE，CG=$\sqrt{2}$，則線段AE的長(zhǎng)為5．

Answer 1

分析 如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，首先證明△EMA≌△ENG，推出AE=EG，再證明△AEO≌△EGF推出EF=OA=$\frac{1}{2}$BD，設(shè)DE=x，則BF=3x，EF=4x，BD=AC=8x，BC=4$\sqrt{2}$x，BG=3$\sqrt{2}$x，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠EBN，
∴EM=EN，
∵∠AEG=∠MEN=90°，
∴∠AEM=∠GEN，
在△EMA和△ENG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEG}\\{EM=EN}\\{∠AME=∠GNE}\end{array}\right.$，
∴△EMA≌△ENG，
∴AE=EG，
∵∠AEO+∠FEG=90°．∠FEG+∠FGE=90°，
∴∠AEO=∠EGF，
在△AEO和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠FGE}\\{∠AOE=∠GFE}\\{AE=EG}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△EGF，
∴AO=EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∵BF=3DE，
∴設(shè)DE=x，則BF=3x，EF=4x，BD=AC=8x，BC=4$\sqrt{2}$x，BG=3$\sqrt{2}$x．
∴GC=BC-BG=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$，
∴x=1，
∴BF=FG=3，EF=4，
∴EG=$\sqrt{E{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AE=EG=5．
故答案為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用方程解決問題，屬于中考常考題型．