Question

如圖，已知BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE

    (1) 求證：∠BAD+∠BCD=180°；

    (2) 若將條件“AB+BC=2BE”與結論“∠BAD+∠BCD=180°”互換，結論還成立嗎?請說明理由

Answer 1

(1)過D作DF⊥BA，垂足為F，∵AB+BC=2BE，∴                       AB=BE+BE－BC，AB=BE+BE－BE－EC, AB=BE－EC，AB+EC=BE，∵BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，在Rt △BFD和Rt△BED 中，∴Rt△BFD≌Rt△BED (HL)，∴FB=BE，∴AB+AF=BE，又∵AB+EC=BE，∴AF=EC，在AFD和△CED中∴ △AFD≌△CED (SAS)，∴∠DCE=∠FAD，∵∠BAD+∠FAD=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°；  (2)可以互換，結論仍然成立，理由如下：  過D作DF⊥BA，垂足為F，∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°，∴∠DCE

    =∠FAD，∵BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC，DF⊥BA，∴ DF=DE,在△AFD和△CED中   ∴△AFD≌△CED (AAS)，∴AF=EC，在Rt △BFD和Rt

 △BED 中 ，∴Rt△BFD≌Rt△BED (HL)，∴FB=BE，∴AB+AF=BE，AB=BE－AF=BE－EC=BE－(BC－BE)=BE－BC+BE=2BE－BC，即AB+BC=2BE