Question

15．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，點O是AB上一點，⊙O過點B且與AC相切于點E，交BD于點G，交AB于點F．
（1）求證：BE平分∠ABD；
（2）當BD=2，sinC=$\frac{1}{2}$時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和切線的性質(zhì)得出OE⊥AC，BD⊥AC，證得OE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可證得結論；
（2）根據(jù)sinC=$\frac{1}{2}$求出AB=BC=4，設⊙O 的半徑為r，則AO=4-r，得出sinA=sinC=$\frac{1}{2}$，根據(jù)OE⊥AC，得出sinA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{r}{4-r}$=$\frac{1}{2}$，即可求出半徑．

解答 （1）證明：連接OE，
∵AC與⊙O相切，
∴OE⊥AC，
∵AB=BC且D是BC中點，
∴BD⊥AC，
∴OE∥BD，
∴∠OEB=∠DBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠ABE=∠DBE，
∴BE平分∠ABD；
（2）解∵BD=2，sinC=$\frac{1}{2}$，BD⊥AC，
∴BC=4，
∴AB=4，
設⊙O的半徑為r，則AO=4-r
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=$\frac{1}{2}$，
∵AC與⊙O相切于點E，
∴OE⊥AC
∴sinA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{r}{4-r}$=$\frac{1}{2}$，
∴r=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等，解（1）小題的關鍵是求出OE∥BD，解（2）小題的關鍵是得出關于r的方程，題型較好，難度適中，用了方程思想．