Question

如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知從某時刻開始的40小時內，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時間t（單位：時）的變化滿足函數關系h=-（t-19）²+8（0≤t≤40），且當水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內，需多少小時禁止船只通行？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線特點設出二次函數解析式，把B坐標代入即可求解；
（2）水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函數關系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時間．
解答：解：（1）∵點C到ED的距離是11米，
∴OC=11，
設拋物線的解析式為y=ax²+11，由題意得B（8，8），
∴64a+11=8，
解得a=-，
∴y=-x²+11；

（2）水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至少為11-5=6米，
∴6=-（t-19）²+8，
∴（t-19）²=256，
∴t-19=±16，
解得t₁=35，t₂=3，
∴35-3=32（小時）．
答：需32小時禁止船只通行．
點評：考查二次函數的應用；判斷出所求二次函數的形式是解決本題的關鍵；注意結合（1）得到h的最大高度．