Question

11．在平面直角坐標系中，已知拋物線C₁：y=a（x-3）²過點（0，1），頂點為P，將拋物線C₁向下平移h（h＞0）個單位長度得到拋物線C₂
過點M（0，m²）（m＞0）作直線l平行于x軸，與兩拋物線從左到右分別相交于A，B，C，D四點，若A，C兩點關于y軸對稱，點G在拋物線C₁上，四邊形APCG是平行四邊形．
（1）求a的值；
（2）求證：點M為PG中點；
（3）求m的值；
（4）求拋物線C₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）把（0，1）代入y=a（x-3）²求出a即可；
（2）先由軸對稱得：點M是AC的中點，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可知：PG也過點M，且點M也是PG的中點；
（3）作輔助線構(gòu)建兩直角三角形，證全等，得出點G的坐標，代入拋物線C₁的解析式即可求出m的值；
（4）由對稱性表示出點A的坐標，代入拋物線C₂的解析式，求出h的值，寫出解析式即可．

解答 解：（1）把（0，1）代入y=a（x-3）²得：1=a（0-3）²，
a=$\frac{1}{9}$；
（2）連接PG，
∵A，C兩點關于y軸對稱且AC交y軸于M，
∴M是AC的中點，
∵四邊形APCG是平行四邊形，
∴PG一定過點M，
∴點M為PG中點；
（3）拋物線C₁：y=$\frac{1}{9}$（x-3）²，P（3，0），
當y=m²時，$\frac{1}{9}$（x-3）²=m²，
（x-3）²=9m²，
x-3=±3m，
x₁=3+3m，x₂=3-3m，
過G作GH⊥AC，垂足為H，
∵MG=MP，∠GMH=∠MPO，∠GHM=∠MOP=90°，
∴△GHM≌△MOP，
∴GH=MO=m²，HM=OP=3，
∴G（-3，2m²），
∵G在拋物線C₁上，
∴2m²=$\frac{1}{9}$（-3-3）²，
2m²=4，
m=±$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$；
（4）M（0，2），C（3+3$\sqrt{2}$，2），
∵A，C兩點關于y軸對稱，
∴A（-3-3$\sqrt{2}$，2），
∵拋物線C₂的解析式為：y=$\frac{1}{9}$（x-3）²-h且點A在拋物線C₂上，
∴2=$\frac{1}{9}$（-3-3$\sqrt{2}$-3）²-h，
h=$\frac{1}{9}$（6+3$\sqrt{2}$）²-2，
h=$\frac{1}{9}$（54+36$\sqrt{2}$）-2=4+4$\sqrt{2}$，
∴拋物線C₂的解析式為：y=$\frac{1}{9}$（x-3）²-4-4$\sqrt{2}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的頂點式及平移問題，還考查了平行四邊形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)；本題把函數(shù)和幾何問題有機結(jié)合在一起，通過證兩直角三角形全等得相等線段，表示出拋物線上點的坐標，利用拋物線的解析式這一等量關系列方程得出m和h的值，使問題得以解決．