Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證：∠ACB=90°；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）連接AC，將△AOC繞平面內(nèi)某點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1O1C1，點(diǎn)A、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、C1、若△A1O1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出“和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣+x+2；（2）見解析；（3）Q（3，2）或Q（﹣1，0）；（4）兩個(gè)和諧點(diǎn)； A1的橫坐標(biāo)是1；.

【解析】

（1）把點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；

（2）先求出AB、AC、BC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可證明;

（3）分兩種情況分別討論，當(dāng)∠QBM＝90°或∠MQB＝90°，即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

（4）兩個(gè)和諧點(diǎn)；AO＝1，OC＝2，設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí)和O1、C1在拋物線上時(shí)，分兩種情況列方程組可得A1的橫坐標(biāo).

（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，

將點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，∴，

∴；

（2）證明：∵，，， ∴，即∠ACB=90°；

（3）∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，∴D（0，﹣2）．

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx﹣2．

∵將（4，0）代入得：4k﹣2＝0，

∴k＝．∴直線BD的解析式為y＝x﹣2．

當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，△BQM是直角三角形，此時(shí)Q（﹣1，0）；

當(dāng)BQ⊥BD時(shí)，△BQM是直角三角形，

則直線BQ的直線解析式為y＝﹣2x+8，

∴，可求x＝3或x＝4（舍）

∴x＝3；

∴Q（3，2）或Q（﹣1，0）；

（4）兩個(gè)和諧點(diǎn)；

AO＝1，OC＝2，

設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），

①當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí)，

∴，∴，

∴A1的橫坐標(biāo)是1；

當(dāng)O1、C1在拋物線上時(shí)，

，∴，

∴A1的橫坐標(biāo)是.