Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC，交AC于F，求證：AE=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：過(guò)E作EH∥CF交BC于H，可得四邊形EHCF是平行四邊形，則HE=CF，需證AE=HE，可通過(guò)證明△ABE≌△HBE（ASA）證得．

解答：解：AE=CF．
理由：過(guò)E作EH∥CF交BC于H，
∴∠3=∠C，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠3=∠BAD，
在△ABE和△HBE中

∠2=∠1 BE=BE ∠BAE=∠3

，
∴△ABE≌△HBE（AAS），
∴AE=HE，
∵EF∥BC，EH∥CF，
∴四邊形EHCF是平行四邊形，
∴HE=CF，
∴AE=CF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵，平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．