Question

△ABC和△DEF均為正三角形，E是BC邊的中點．
（1）如圖甲，DE交AB于M，EF交AC于N，求證：△BEM∽△CNE；
（2）如圖乙，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE交BA的延長線于M，EF交AC于N，除（1）中的一對三角形外，還有一對三角形相似，直接寫出這對相似三角形是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=∠DEF=60°，則∠1+∠2=∠1+∠3=120°，所以∠2=∠3，然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到△BEM∽△CNE；
（2）由△BEM∽△CNE得

BE

CN

=

ME

EN

，用BE=EC代換變形后得

EC

ME

=

CN

EN

，加上∠MEN=∠B=60°，則可判斷△ENM∽△CNE．

解答：（1）證明：∵△ABC、△DEF均為正三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=60°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=180°-60°=120°，
∴∠2=∠3，
∴△BEM∽△CNE；

（2）△ENM∽△CNE．理由如下：
∵△BEM∽△CNE，
∴

BE

CN

=

ME

EN

，
而BE=EC，
∴

EC

ME

=

CN

EN

，
又∵∠MEN=∠B=60°，
∴△ENM∽△CNE．
故答案為△ENM∽△CNE．

點評：本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．也考查了相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．