Question

如圖，在平面直角系中，點A、B分別在x軸、y軸上，A（8，0），B（0，6），點P從點B出發(fā)，沿BA以每秒1個單位的速度向點A運動，點Q從點A出發(fā)，沿AO以每秒1個單位的速度向點O運動，當點Q到達點O時，兩點同時停止運動，設(shè)點Q的運動時間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示C點坐標；
（2）如圖1，連接PQ，過點Q作QC⊥AO交AB于點C，在整個運動過程中，當t為何值時，△CPQ為等腰三角形？
（3）如圖2，以QC為直徑作⊙D，⊙D與AB的另一個公共點為E．問是否存在某一時刻t，使得以BC、CE、AE的長為邊的三角形為直角三角形？若存在，直接寫出一個符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）根據(jù)勾股定理可求出AB=10，易證△AQC∽△AOB，由此可用t的代數(shù)式表示出QC、OQ的長，從而解決問題．
（2）可分四種情況（圖a、圖b、圖c、圖d），只需用t的代數(shù)式表示出相關(guān)線段的長，然后建立方程，就可求出對應(yīng)t的值．
（3）先用t的代數(shù)式表示出BC、CE、AE的長，可證AE＞CE，只需分兩種情況（BC為斜邊、AE為斜邊）進行討論，運用勾股定理建立方程，就可求出符合題意的t的值．

解答：解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6．
∵∠AOB=90°，
∴AB=10．
∵QC⊥AO，
∴∠CQA=90°=∠BOA．
∴QC∥OB．
∴△AQC∽△AOB．
∴

AQ

AO

=

QC

OB

=

AC

AB

．
∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，
∴

t

8

=

QC

6

=

AC

10

．
∴QC=

3

4

t，AC=

5

4

t．
∵OQ=OA-AQ=8-t，
∴點C的坐標為（8-t，

3

4

t）．

（2）①如圖a，CP=CQ．

∵CP=AB-BP-AC=10-t-

5

4

t=10-

9

4

t，CQ=

3

4

t，
∴10-

9

4

t=

3

4

t．
解得：t=

10

3

．
②如圖b，PC=PQ．

∵∠CQA=90°，
∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠PQC．
∴∠AQP=∠QAC．
∴PQ=PA．
∴PC=PA．
∴AC=2AP．
∵AC=

5

4

t，AP=10-t，
∴

5

4

t=2（10-t）．
解得：t=

80

13

．
③如圖c，CQ=CP．

∵CQ=

3

4

t，CP=

5

4

t-（10-t）=

9

4

t-10，
∴

3

4

t=

9

4

t-10．
解得：t=

20

3

．
④如圖d，QC=QP．

過點Q作QN⊥AC于點N，
則有PN=CN=

1

2

PC=

1

2

（

9

4

t-10）=

9

8

t-5．
∵QC∥OB，
∴∠QCN=∠OBA．
∵∠CNQ=∠BOA=90°，
∴△CNQ∽△BOA．
∴

CN

OB

=

CQ

AB

．
∴CN•AB=OB•CQ．
∴（

9

8

t-5）×10=6×

3

4

t．
解得：t=

200

27

．
綜上所述：當t取

10

3

或

80

13

或

20

3

或

200

27

時，△CPQ是等腰三角形．

（3）如圖e，連接QE．

∵CQ是⊙D的直徑，
∴∠CEQ=90°．
∴∠QEA=90°=∠BOA．
∵∠EAQ=∠OAB，
∴△QEA∽△BOA．
∴

AE

OA

=

AQ

AB

．
∴AE=

4

5

t．
∴CE=AC-AE=

5

4

t-

4

5

t=

9

20

t，BC=10-

5

4

t．
∵

4

5

t=

16

20

t＞

9

20

t，∴AE＞CE．
∴CE不可能是斜邊．
①BC為斜邊，
則有BC²=CE²+AE²．
∴（10-

5

4

t）²=（

9

20

t）²+（

4

5

t）²．
整理得：18t²-625t+2500=0，
解得：t₁=

625-25 337

36

，t₂=

625+25 337

36

∵0≤t≤8，
∴t=

625-25 337

36

．
②AE為斜邊，
則有AE²=CE²+BC²．
∴（

4

5

t）²=（

9

20

t）²+（10-

5

4

t）²．
整理得：9t²-200t+800=0．
解得：t₃=

100+20 7

9

，t₄=

100-20 7

9

．
∵0≤t≤8，
∴t=

100-20 7

9

．
綜上所述：符合題意的t的值為

625-25 337

36

或

100-20 7

9

．

點評：本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識，另外還重點考查了分類討論的數(shù)學思想，有一定的難度．