Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2，且l3與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，l4與l1，l2相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上．

（1）【探究1】如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)間滑動(dòng)時(shí)，試探究∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？并說明理由；

（2）【應(yīng)用】如圖2，A點(diǎn)在B處北偏東32°方向，A點(diǎn)在C處的北偏西56°方向，應(yīng)用探究1的結(jié)論求出∠BAC的度數(shù)．

（3）【探究2】如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，由PQ∥l1∥l2結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”，再通過角的計(jì)算即可得出結(jié)論；

（2）分別在B點(diǎn)和A點(diǎn)處畫方位圖，結(jié)合（1）的結(jié)論即可算出結(jié)果；

（3）分點(diǎn)P的位置不同來考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，由PQ∥l1∥l2結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找出“∠QPC=∠ACP，∠QPD=∠BDP”，再通過角的計(jì)算即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，利用①的方法可得出結(jié)論．綜合①②即可得出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)間滑動(dòng)時(shí)，∠2=∠1+∠3保持不變．理由如下：

過點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，如圖1所示．

∵PQ∥AC，

∴∠1=∠CPQ，

又∵PQ∥AC，BD∥AC，

∴PQ∥BD，

∴∠3=∠DPQ，

∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，

即∠1+∠3=∠2．

（2）分別在B點(diǎn)和A點(diǎn)處畫方位圖，如圖2所示．

由（1）知：∠2=∠1+∠3

∴∠BAC=32°+56°=88°．

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，如圖3所示．

∵PQ∥AC，

∴∠QPC=∠ACP．

又∵PQ∥AC，BD∥AC，

∴PQ∥BD，

∴∠QPD=∠BDP．

又∵∠CPD=∠QPD﹣∠QPC，

∴∠CPD=∠BDP﹣∠ACP．

②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=∠ACP﹣∠BDP．

綜上：∠CPD=|∠ACP﹣∠BDP|．