Question

18．如圖1，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)A在x軸上，經(jīng)過原點(diǎn)O且不與坐標(biāo)軸重合的直線l交對(duì)角線AC于點(diǎn)D，過D作OD的垂線，與直線AB相交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)△OCD≌△DAE時(shí)，求出CD的長(zhǎng)；
（2）通過動(dòng)手測(cè)量線段OD和DE的長(zhǎng)來判斷他們之間的大小關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論；
（3）現(xiàn)將直線1繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，如圖2：
①試判斷OD=DE是否成立？并證明你的結(jié)論；
②是否存在直線l，使△ADE為等腰三角形？若存在，求出l的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性質(zhì)得出AC=2$\sqrt{2}$，由三角形全等得出AD=OC=2，即可；
（2）構(gòu)造全等三角形，判斷出∠ODN=∠EDM，由正方形的性質(zhì)得出DM=DN，即可；
（3）①同（2）的判斷方法；
②分三種情況判斷求解，利用等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，得出∠AOD即可．

解答 解：（1）∵△OCD≌△DAE，
∴AD=OC=2，
∵AC是正方形的對(duì)角線，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴CD=AC-AD=2$\sqrt{2}$-2；
（2）OD=ED，
理由：如圖1，

過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥OA，
∴∠AMD=∠AND=90°，
∴四邊形AMDN是矩形，
∴∠MDN=90°，
∵DE⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∴∠ODN=∠EDM，
∵點(diǎn)D是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，DM⊥AB，DN⊥OA，
∴DM=DN，
在△OND和△EMD中$\left\{\begin{array}{l}{∠ODN=∠EDM}\\{DN=DM}\\{∠DNO=∠DME}\end{array}\right.$，
∴△OND≌△EDM，
∴OD=ED，
（3）①OD=DE成立，理由：
如圖2，

過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥OA，
∴∠AMD=∠AND=90°，
∴四邊形AMDN是矩形，
∴∠MDN=90°，
∵DE⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∴∠ODN=∠EDM，
∵點(diǎn)D是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，DM⊥AB，DN⊥OA，
∴DM=DN，
在△OND和△EMD中$\left\{\begin{array}{l}{∠ODN=∠EDM}\\{DN=DM}\\{∠DNO=∠DME}\end{array}\right.$，
∴△OND≌△EDM，
∴OD=ED，
②存在，
Ⅰ、當(dāng)ED=EA時(shí)，
∴∠EDA=∠EAD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴DE∥BC，
∵BC⊥OC，
∴DE⊥OC，
∴直線l和y軸重合，
∵l不與坐標(biāo)軸重合，
∴此種情況不存在；
Ⅱ、當(dāng)AE=AD時(shí)，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=67.5°，
∵DE⊥l，
∴∠ADO=22.5°，
∵∠OAC=45°，
∴∠DON=67.5°，
∵tan∠DON=$\frac{DN}{ON}$=$\sqrt{2}$+1，
∴直線l解析式為y=-（$\sqrt{2}$+1）x；
Ⅲ、當(dāng)AD=DE時(shí)，
∵OD=DE，
∴OD=AD，
∵∠OAD=45°，
∴∠AOD=45°，
∴直線l解析式為y=x．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，難點(diǎn)是求直線l的解析式．