Question

【題目】如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線的解析式；

（2）小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；

（3）請直接寫出△PDE周長的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+8；（2）正確，d＝|PD﹣PF|為定值2；理由見解析；（3）△PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；

（2）首先表示出P，F點坐標，再利用兩點之間距離公式得出PD，PF的長，進而求出即可；

（3）過E作EF⊥x軸，交拋物線于點P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE＋PF），當(dāng)P、E、F三點共線時，PE＋PF最��；當(dāng)P與A重合時，PE＋PF最大；即可解答．

（1）∵邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，

∴C（0，8），A（﹣8，0），

設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+c，

則，

解得：．

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+8．

（2）設(shè)P（x，﹣x2+8），則F（x，8），

則PF＝8﹣（﹣x2+8）＝x2．

PD2＝x2+[6﹣（﹣x2+8）]2＝x4+x2+4＝（x2+2）2

∴PD＝x2+2，

∴d＝|PD﹣PF|＝|x2+2﹣x2|＝2

∴d＝|PD﹣PF|為定值2；

（3）如圖，過點E作EF⊥x軸，交拋物線于點P，

由d＝|PD﹣PF|為定值2，

得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），

又∵D（0，6），E（﹣4，0）

∴DE＝．

∴C△PDE＝2+2+（PE+PF），

當(dāng)PE和PF在同一直線時PE+PF最小，

得C△PDE最小值＝2+2+8＝2 +10．

設(shè)P為拋物線AC上異于點A的任意一點，過P作PM∥x軸，交AB于點M，連接ME，如圖2．

由于E是AO的中點，易證得ME≥PE（當(dāng)點P接近點A時，在△PME中，顯然∠MPE是鈍角，故ME≥PE，與A重合時，等號成立），而ME≤AE+AM，

所以PE≤AE+AM．

所以當(dāng)P與A重合時，PE+PF最大，

AE＝8﹣4＝4，PD＝＝10．

得C△PDE最大值＝2+4+10＝2+14．

綜上所述，△PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10．