Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過點(diǎn)B、C的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0）．

（1）求這個(gè)拋物線的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)D在拋物線上，且橫坐標(biāo)為2，求出△BCD的面積；

（3）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ垂直于x軸，垂足為Q．是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．

【解析】

（1）本題需先根據(jù)直線過B，C兩點(diǎn)，求得B，C的坐標(biāo)，然后根據(jù)的東西是即可得出拋物線的解析式．

（2）把D的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得縱坐標(biāo)，求得四邊形OBDC是梯形，可直接根據(jù)三角形面積公式求得；

（3）本題首先判斷出存在，首先設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P的縱坐標(biāo)為，再分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，得出△APQ∽△BCO，△APQ∽△CBO，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

（1）∵直線分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)B、C，

∴B（3，0），C（0，2），

將A（-1，0），C（0，2）代入得，

，

解得．

故此拋物線的解析式為．

（2）如圖，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，

由 令，得，

∴

由，令，得，

∴

∴．

∴

（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則），

①當(dāng)∽時(shí)，，即，

解得，，（舍去），此時(shí)．

②當(dāng)∽時(shí)，，

即，

解得，，（舍去），此時(shí)．

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或