Question

【題目】正方形ABCD，CEFG按如圖放置，點B，C，E在同一條直線上，點P在BC邊上，PA＝PF，且∠APF＝90°，連接AF交CD于點M，有下列結論：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB2＋CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD＋S正方形CEFG＝2S△APF.其中正確的是(　　)

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由同角的余角相等可證出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根據正方形的性質即可得出①成立；②沒有滿足證明AP=AM的條件；③根據平行線的性質可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤結合④即可得出⑤成立．綜上即可得出結論．

①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，

∴∠EPF=∠BAP．

在△EPF和△BAP中，有，

∴△EPF≌△BAP（AAS），

∴EF=BP，

∵四邊形CEFG為正方形，

∴EC=EF=BP，即①成立；

②無法證出AP=AM；

③∵FG∥EC，

∴∠GFP=∠EPF，

又∵∠EPF=∠BAP，

∴∠BAP=∠GFP，即③成立；

④由①可知EC=BP，

在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，

∵PA=PF，且∠APF=90°，

∴△APF為等腰直角三角形，

∴AF2=AP2+EP2=2AP2，

∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=AF2，即④成立；

⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，

∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．

故成立的結論有①③④⑤．

故選D．