【題目】已知,如圖1:△ABC中,∠B、∠C的平分線相交于點O,過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)直接寫出圖1中所有的等腰三角形,并指出EF與BE、CF間有怎樣的數量關系?
(2)在(1)的條件下,若AB=10,AC=15,求△AEF的周長.
(3)如圖2,若△ABC中,∠B的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于點O,過O點作OE∥BC交AB于E,交AC于F,請問(1)中EF與BE、CF間的關系還是否存在,若存在,說明理由;若不存在,寫出三者新的數量關系,并說明理由.
【答案】(1)等腰△OBE和等腰△OCF;EF=BE+CF;(2)25;(3)(1)中EF與BE、CF間的關系不存在,新的數量關系為:EF=BE-CF
【解析】試題分析:(1)根據角平分線的性質可得: ∠ABO=∠CBO, ∠ACO=∠BCO,根據平行線的性質可得: ∠EOB=∠CBO, ∠FOC=∠BCO,即可求證: ∠ABO=∠EOB, ∠ACO=∠FOC,可求證:EO=EB,FO=FC,即EF=EO+FO=BE+CF,(2)根據(1)中的結論可得: △AEF的周長等于AE+AF+EF=AB+AC=10+15=25,(3) 根據角平分線的性質可得: ∠ABO=∠CBO, ∠ACO=∠BCO,根據平行線的性質可得: ∠EOB=∠CBO, ∠FOC=∠BCO,即可求證: ∠ABO=∠EOB, ∠ACO=∠FOC,可求證:EO=EB,FO=FC, 即EF=EO-FO=BE-CF.
試題解析:(1)有2個等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF,
EF=BE+CF.
(2)△AEF的周長為AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25,
(3)(1)中EF與BE,CF間的關系不存在,新的數量關系為:EF=BE-CF,
證明:由BO平分∠ABC及OE∥BC可證BE=EO,
由CO平分∠ACG及OE∥BC可證CF=FO,
而EO=EF+OF,則EF=EO-OF=BE-CF .
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【題目】.在△ABC中,,,直線經過點,且于, 于.
(1)當直線繞點旋轉到圖1的位置時, 的數量關系是_________________ ,并請給出證明過程.
(2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時, 的數量關系是_________________ (直接寫出結果)。
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【題目】自學下面材料后,解答問題.
分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式.如: >0; <0等.那么如何求出它們的解集呢?
根據我們學過的有理數除法法則可知:兩數相除,同號得正,異號得負.其字母表達式為:
(1)若a>0,b>0,則>0;若a<0,b<0,則>0;
(2)若a>0,b<0,則<0;若a<0,b>0,則<0.
反之:①若>0,則 或,
②若<0,則 或.
根據上述規(guī)律,①求不等式< 0的解集.
②直接寫出不等式解集為x>3或x<1的最簡分式不等式.
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【題目】在平面直角坐標系中,一只螞蟻由(0,0)先向上爬4個單位長度,再向右爬3個單位長度,再向下爬2個單位長度后,它所在位置的坐標是( )
A.(4,3)B.(4,2)C.(2,3)D.(3,2)
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數為_____________.
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