Question

（2013•安陽(yáng)一模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OA運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以a cm/s的速度沿線段OC→CB運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨著停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是

（2，2

3

）

，對(duì)角線OB的長(zhǎng)度是

4

7

cm

cm．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)△OPQ面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，S的最大值？
（3）設(shè)線段PQ與對(duì)角線OB交于一點(diǎn)M，當(dāng)a=

5

7

，t=7時(shí)，以O(shè)、M、P為頂點(diǎn)的三角形是否與△OAB相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CH⊥x軸于H，過(guò)B作BR⊥x軸于R，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BC=OA=8cm，BC∥OA，解直角三角形求出CH和OH即可；根據(jù)勾股定理求出OB長(zhǎng)即可；
（2）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，求出OP=OQ，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，求出QD=

3

2

t，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②當(dāng)4≤t≤8時(shí)，作QE⊥x軸于點(diǎn)E，求出QE=2

3

cm，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）相似，求出BQ=OP=7，證△BMQ≌△OMP，求出OM=BM=2

7

，求出

OM

OA

=

OP

OB

=

7

4

，根據(jù)相似三角形的判定推出即可．

解答：解：（1）過(guò)C作CH⊥x軸于H，過(guò)B作BR⊥x軸于R，如圖1，

∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴BC=OA=8cm，BC∥OA，
∵∠AOC=60°，OC=4cm，
∴∠OCH=30°，CH=OC•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm），
∴OH=

1

2

OC=2cm，
即AR=OH=3cm，BR=CH=2

3

cm
∴C的坐標(biāo)是（2，2

3

），
在Rt△ORB中，BR=2

3

cm，OR=8+2=10（cm），由勾股定理得：OB=4

7

（2）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，如圖2，

∵∠AOC=60°，a=1，
∴OP=OQ，
過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵OQ=t，∠QOD=60°，
則QD=

3

2

t，
∴S=

1

2

OP•QD=

3

4

t2；
②當(dāng)4≤t≤8時(shí)，作QE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖3，

則QE=2

3

cm，
∴S=

1

2

DP•QE=

3

t，
綜合上述，當(dāng)t=8時(shí)，S的值最大，最大值為8

3

cm²．

（3）相似，理由如下：
如圖4，當(dāng)a=

5

7

，t=7時(shí)，OP=7，BQ=12-at=7，

則BQ=OP，
∵BC∥OA，
∴∠QBM=∠POM，
∵在△BMQ和△OMP中

∠BMQ=∠PMO ∠QBM=∠POM BQ=OP

∴△BMQ≌△OMP（AAS），
∴OM=BM=2

7

，
∴

OM

OA

=

2 7

8

=

7

4

，

OP

OB

=

7

4 7

=

7

4

，
∴

OM

OA

=

OP

OB

又∵∠MOP=∠AOB，
∴△OPM∽△OBA．
故答案為：（2，2

3

），4

7

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．