Question

如圖①，△ABC的面積為a，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA，若△ACD的面積為S₁，則S₁=a，探索：
（1）如圖②，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE．若△DEC的面積為S₂，則S₂=

 

（用含a的代數(shù)式表示）
（2）在圖②的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)FD、FE，得到△DEF（如圖③），若陰影部分的面積為S₃，則S₃=

 

（用含a的代數(shù)式表示）．
發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖③），此時，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次，可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的

 

倍．
應(yīng)用：去年在面積為10m²的△ABC空地上栽種了某種花卉，今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把△ABC內(nèi)外進(jìn)行擴(kuò)展，第一次由△ABC擴(kuò)展成△DEF，第二次由△DEF擴(kuò)展成△MGH（如圖④）；求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域 （即陰影部分）面積共為多少平方米？

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的面積

專題：

分析：（1）運(yùn)用分割法：連接AD．根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行分析：等底同高的兩個三角形的面積相等；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，陰影部分的面積是（1）中求得的面積的3倍；再加上原來三角形的面積進(jìn)行計算．
應(yīng)用：根據(jù)上述結(jié)論，即擴(kuò)展一次后得到的三角形的面積是原三角形的面積的7倍，則擴(kuò)展兩次后，得到的三角形的面積是原三角形的面積的7²=49倍．從而得到擴(kuò)展的區(qū)域的面積是原來的48倍．

解答：解：（1）2a；
理由：連接AD，

∵CD=BC，AE=CA，
∴S_△DAC=S_△DAE=S_△ABC=a，
∴S₂=2a，
故答案為：2a；
（2）6a；
結(jié)合（1）得：2a×3=6a，
故答案為：6a；
發(fā)現(xiàn)：擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是6a+a=7a，即是原來三角形的面積的7倍，
故答案為：7；
應(yīng)用：
由圖③可知：S_△DEF=7S_△ABC，S_△MGH=7S_△DEF，
∴S_△MGH=49S_△ABC，
又S_陰=S_△MGH-S_△ABC=48S_△ABC=480m²，
所以這兩次擴(kuò)展的區(qū)域 （即陰影部分）面積共為480平方米．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生探索知識、發(fā)現(xiàn)知識、應(yīng)用知識的綜合創(chuàng)新能力．本題的探索過程由簡到難，運(yùn)用類比方法可依次求出．從而使考生在身臨數(shù)學(xué)的情境中潛移默化，逐漸感悟到數(shù)學(xué)思維的力量，使學(xué)生對知識的發(fā)生及發(fā)展過程、解題思想方法的感悟體會得淋漓盡致，是一道新課標(biāo)理念不可多得的好題．