【題目】在正方形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,點P在線段BC上(不含點B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于點E,過點B作BF⊥PE,垂足為F,交AC于點G.
(1)當(dāng)點P與點C重合時(如圖①):
①求證:△BOG≌△POE;②猜想:= ;
(2)當(dāng)點P與點C不重合時,如圖②,的值會改變嗎?試說明理由.
【答案】(1)①證明見解析;②;(2),不會改變,理由見解析.
【解析】
(1)①由四邊形ABCD是正方形,P與C重合,易證得OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°,由同角的余角相等,證得∠GBO=∠EPO,則可利用ASA證得:△BOG≌△POE;
②先判斷出∠BPF=∠GPF,進而得出BF=BG,由①得△BOG≌△POE,得出BG=PE,即可得出結(jié)論;
(2)首先過P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,易證得△BMN≌△PEN(ASA),△BPF≌△MPF(ASA),即可得BM=PE,BF=BM.則可求得
的值;
(1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,P與C重合,
∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°,
∵PF⊥BG,∠PFB=90°,
∴∠GBO=90°﹣∠BGO,∠EPO=90°﹣∠BGO,
∴∠GBO=∠EPO,
在△BOG和△POE中,
∵,
∴△BOG≌△POE(ASA);
②由①知,△BOG≌△POE,
∴BG=PE,
∵∠BPE=∠ACB,∠BPF+∠GPF=∠ACB,
∴∠BPF=∠GPF,
∵BF⊥PE,
∴BF=BG,
∴,
故答案為;
(2)解:猜想.
證明:如圖2,過P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=90°,∠BPN=∠OCB.
∵∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠NBP=∠NPB.
∴NB=NP.
∵∠MBN=90°﹣∠BMN,∠NPE=90°﹣∠BMN,
∴∠MBN=∠NPE,
在△BMN和△PEN中,
,
∴△BMN≌△PEN(ASA),
∴BM=PE.
∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,
∴∠BPF=∠MPF.
∵PF⊥BM,
∴∠BFP=∠MFP=90°.
在△BPF和△MPF中,
,
∴△BPF≌△MPF(ASA).
∴BF=MF.
即BF=BM.
∴BF=PE.
即=.
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【題目】觀察下列等式:
①;②;③;…
根據(jù)上述式子的規(guī)律,解答下列問題:
(1)第④個等式為 ;
(2)寫出第個等式,并驗證其正確性.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點E、F分別為AD、DC上的動點,∠EBF=60°,點E從點A向點D運動的過程中,AE+CF的長度( )
A. 逐漸增加 B. 逐漸減小
C. 保持不變且與EF的長度相等 D. 保持不變且與AB的長度相等
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【題目】小明在暑期社會實踐活動中,以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場上去銷售,在銷售了40千克西瓜之后,余下的每千克降價0.4元,全部售完.銷售金額與售出西瓜的千克數(shù)之間的關(guān)系如圖所示.請你根據(jù)圖象提供的信息完成以下問題:
(1)求降價前銷售金額y(元)與售出西瓜x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)小明從批發(fā)市場共購進多少千克西瓜?
(3)小明這次賣瓜賺了多少錢?
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【題目】如圖(1),拋物線W1:y=﹣x2+4x與x軸的正半軸交于點B,頂點為A,拋物線W2與W1關(guān)于x軸對稱,頂點為D.
(1)求拋物線W2的解析式;
(2)將拋物線W2向右平移m個單位,點D的對應(yīng)點為D′,點B的對應(yīng)點為B′,則當(dāng)m為何值時,四邊形AOD′B′為矩形?請直接寫出m的值.
(3)在(2)的條件下,將△AOD′沿x軸的正方向向右平移n個單位(0<n<5),得到△A′O′D′′,AD′分別與O′A′、O′D′′交于點M、點P,A′D′′分別與AB′、B′D′交于點N、點Q.
①求當(dāng)n為何值時,四邊形MNQP為菱形?
②若四邊形MNQP的面積為S,求S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式;并求當(dāng)n為何值時,S的值最大?最大值為多少?
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【題目】如圖,直線與軸,軸分別交于,兩點,且經(jīng)過點.
(1)求的值;
(2)若,
①求的值;
②點為軸上一動點,點為坐標平面內(nèi)另一點,若以,,,為頂點的四邊形是菱形,請直接寫出所有符合條件的點的坐標.
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【題目】如圖,ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,如果AC=12、BD=10、AB=m,那么m的取值范圍是( )
A. 1<m<11 B. 2<m<22 C. 10<m<12 D. 5<m<6
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,CD與⊙O相切于點D,CE⊥AD,交AD的延長線于點E.
(1)求證:∠BDC=∠A;
(2)若CE=2,DE=1,求AD的長.
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【題目】隨著“父親節(jié)”的臨近,某商場決定開展“感恩父愛,回饋顧客”的促銷活動,對部分節(jié)日大禮包進行打折銷售.其中款節(jié)日大禮包打折款節(jié)日大禮包打折.已知打折前,購買盒款節(jié)日大禮包和盒款節(jié)日大禮包需要元;打折后買盒款節(jié)日大禮包和盒款節(jié)日大禮包需要元.
求打折后兩款節(jié)日大禮包每盒分別為多少元?
打折期間,某公司計劃為員工采購盒節(jié)日大禮包,總費用不超過元,則最多可以購買款節(jié)日大禮包多少盒?
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