Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上，且位于x軸下方．

（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．

①求該拋物線的解析式；

②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②D（﹣1，﹣3）或（， ）；（2）定值為2．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．

試題解析：（1）①將P（1，﹣3），B（4，0）代入，得：，解得：，拋物線的解析式為；

②如圖1，由∠DPO=∠POB，得：DP∥OB，D與P關(guān)于y軸對稱，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；

如圖，D在P右側(cè)，即圖中D2，則∠D2PO＝∠POB，延長PD2交x軸于Q，則QO＝QP，設(shè)Q（q，0），則，解得：q＝5，∴Q（5，0），則直線PD2為 ，再聯(lián)立 ，解得：x＝1或 ，∴ D2（， ）．

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-3）或（， ）．

（2）點(diǎn)P運(yùn)動時，是定值，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），A（﹣4，0），B（4，0），設(shè)AP的解析式為y=kx+b，將A、P點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：，解得b==，即E（0，），設(shè)BP的解析式為y=k1x+b1，將B、P點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：

，解得b2==，即F（0，），OF+OE==，==2．