Question

6．（1）如圖1，已知△ABC，以AB，AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，求證：BE=CD；
（2）如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；
（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：
如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=60米，AC=AE，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由△ABD與△ACE都是等邊三角形，得到三對(duì)邊相等，兩個(gè)角相等，都為60度，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到△CAD與△EAB全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）利用SAS得到△CAD與△EAB全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（3）根據(jù)（1）、（2）的經(jīng)驗(yàn)，過(guò)A作等腰直角△ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，由題意得到△DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，即為BE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖1所示：
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（2）解：BE=CD，理由同（1），
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（3）解：如圖3，由（1）、（2）的解題經(jīng)驗(yàn)可知，過(guò)A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=60米，∠ABD=45°，
∴BD=60$\sqrt{2}$米，
連接CD，BD，則由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=60米，BD=60$\sqrt{2}$米，
根據(jù)勾股定理得：CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}$=60$\sqrt{3}$（米），
則BE=CD=60$\sqrt{3}$米．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形、等腰直角三角形以及正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．