Question

5．如圖，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E為BC的中點．
求證：AF=BC+CF．

Answer 1

分析 作EM⊥AF于M，連接EF，根據已知和正方形的性質分別證明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，從而得出結論．

解答 解：作EM⊥AF于M，連接EF，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠AME=90°，
∵∠1=∠2，
∴BE=EM，
在Rt△ABE與Rt△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{BE=EM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AME，
∴AM=AB=BC，EM=BE，
∵E是BC中點，
∴EC=BE=EM，
在Rt△EMF與Rt△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ME=CE}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF，
∴FM=FC，
∵AF=AM+MF，
∴AF=BC+CF．

點評 本題考查了正方形的性質，及全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．