Question

3．在平面直角坐標系中，點A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．
（1）若a、b滿足a²+b²-4a-2b+5=0．
①求a、b的值；
②如圖1，在①的條件下，將點B在x軸上平移，且b滿足：0＜b＜2；在第一象限內以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，請用b表示S_{四邊形AOBC}，并寫出解答過程．
（2）若將線段AB沿x軸向正方向移動a個單位得到線段DE（D對應A，E對應B）連接DO，作EF⊥DO于F，連接AF、BF．
①如圖2，判斷AF與BF的關系并說明理由；
②若BF=OA-OB，則∠OAF=60°（直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）①化簡得（a-2）²+（b-1）²=0，根據(jù)非負數(shù)的性質即可求出a、b．②利用S_{四邊形AOBC}=S_△AOB+S_△ABC即可解決．
（2）①結論：AF=FB，AF⊥FB，作FG⊥y軸，F(xiàn)H⊥x軸垂足分別為G、H，先證明四邊形FHOG是正方形，然后證明△FGA≌△FHB得FA=FB，∠AFG=∠BFH所以∠AFB=∠GFH=90°．從而得證．
②由△FGA≌△FHB得∠FBH=∠OAF，在Rt△FBH中，求出cos∠FBH=$\frac{BH}{BF}$的值即可解決．

解答 解：（1）①∵a²+b²-4a-2b+5=0，
∴（a-2）²+（b-1）²=0，
∴a=2，b=1，
②∵A（0，2），B（b，0），
∴AB=$\sqrt{^{2}+4}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2^{2}+8}}{2}$，
∴S_{四邊形AOBC}=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AO•BO+$\frac{1}{2}$BC²=$\frac{1}{4}$b²+b+1，（0＜b＜2）．
（2）①結論：FA=FB，F(xiàn)A⊥FB，理由如下：
如圖，作FG⊥y軸，F(xiàn)H⊥x軸垂足分別為G、H．
∵A（0，a）向右平移a個單位到D，
∴點D坐標為（a，a），點E坐標為（a+b，0），
∴∠DOE=45°，
∵EF⊥OD，
∴∠OFE=90°∠FOE=∠FEO=45°，
∴FO=EF，
∴FH=OH=HE=$\frac{1}{2}$（a+b），
∴點F坐標（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{a+b}{2}$），
∴FG=FH，四邊形FHOG是正方形，
∴OG=FH=$\frac{a+b}{2}$，∠GFH=90°，
∴AG=AO-OG=a-$\frac{a+b}{2}$=$\frac{a-b}{2}$，BH=OH-OB=$\frac{a+b}{2}-b$=$\frac{a-b}{2}$，
∴AG=BH，
在△FGA和△FHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{FG=FH}\\{∠FGA=∠FHB=90°}\\{AG=BH}\end{array}\right.$，
∴△FGA≌△FHB，
∴FA=FB，∠AFG=∠BFH，
∴∠AFB=∠GFH=90°．
AF⊥BF，AF=BF．
②∵△FGA≌△FHB，
∴∠FBH=∠OAF，
在Rt△BFH中，∵BF=OA-OB=a-b，BH=$\frac{a-b}{2}$，
∴cos∠FBH=$\frac{BH}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠FBH=60°，
∴∠OAF=60°．
故答案為60°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、勾股定理、非負數(shù)的性質、三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．