Question

平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點(diǎn)，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于M，點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與F、G不重合)，PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q。

【小題1】求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
【小題2】判斷⊿BDC的形狀，并給出證明；當(dāng)P在什么位置時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)
【小題3】若拋物線的頂點(diǎn)為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【小題1】B(-1,0) E(0,4) C(4，0)  設(shè)解析式是
可得     解得  （2分） ∴
【小題2】⊿BDC是直角三角形       （1分）
∵BD²=BO²+DO²="5" , DC²=DO²+CO²="20" ,BC²=(BO+CO)²="25"
∴BD²+ DC²= BC²                 （1分）
∴⊿BDC是Rt⊿
點(diǎn)A坐標(biāo)是（-2,0），點(diǎn)D坐標(biāo)是（0,2）直線AD的解析式是 （1分）
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（x，x+2）
當(dāng)OP=OC時(shí) x²+(x+2)²="16" 解得 （不符合，舍去）此時(shí)點(diǎn)P（）
當(dāng)PC=OC時(shí) 方程無解
當(dāng)PO=PC時(shí)，點(diǎn)P在OC的中垂線上，∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)是2， 得點(diǎn)P坐標(biāo)是（2,4）
∴當(dāng)⊿POC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（）或（2,4） （2分）
（1）  【小題3】點(diǎn)M坐標(biāo)是（）N坐標(biāo)是（）∴MN=
設(shè)點(diǎn)P 為（x，x+2）Q(x,-x²+3x+4),則PQ=
①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x₁="0.5" x₂="1.5"
當(dāng)x₂=1.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；當(dāng)x₁=0.5時(shí)，可求得PM=，所以菱形不存在（2分）
②能成為等腰梯形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2.5,4.5）（2分）

解析