Question

【題目】為了全面推進(jìn)素質(zhì)教育，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，豐富校園文化生活，高新區(qū)某校將舉行春季特色運(yùn)動(dòng)會(huì)，需購買A，B兩種獎(jiǎng)品.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，若購買A種獎(jiǎng)品3件和B種獎(jiǎng)品2件，共需60元；若購買A種獎(jiǎng)品1件和B種獎(jiǎng)品3件，共需55元．

(1)求A、B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各是多少元；

(2)運(yùn)動(dòng)會(huì)組委會(huì)計(jì)劃購買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件，購買費(fèi)用不超過1160元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，運(yùn)動(dòng)會(huì)組委會(huì)共有幾種購買方案？

(3)在第(2)問的條件下，設(shè)計(jì)出購買獎(jiǎng)品總費(fèi)用最少的方案,并求出最小總費(fèi)用.

Answer 1

【答案】（1）A獎(jiǎng)品的單價(jià)是10元/件，B獎(jiǎng)品的單價(jià)是15元/件；（2）共有8種購買方案；（3）購買總費(fèi)用最少的方案是購買A獎(jiǎng)品75件、B獎(jiǎng)品25件，最小費(fèi)用為1125元．

【解析】

（1）設(shè)A獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元/件，B獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元/件，根據(jù)“若購買A種獎(jiǎng)品3件和B種獎(jiǎng)品2件，共需60元；若購買A種獎(jiǎng)品1件和B種獎(jiǎng)品3件，共需55元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件，購買總費(fèi)用W元，則購買B種獎(jiǎng)品（100-m）件，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×購買數(shù)量，即可得出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)購買費(fèi)用不超過1160元且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，即可求出購買方案；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，利用一次函數(shù)的增減性質(zhì)即可解決最值問題．

解：（1）設(shè)A獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元/件，B獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元/件，
根據(jù)題意，得：

解得：

答：A獎(jiǎng)品的單價(jià)是10元/件，B獎(jiǎng)品的單價(jià)是15元/件．
（2）設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件，購買總費(fèi)用W元，則購買B種獎(jiǎng)品（100-m）件，
根據(jù)題意，得：W=10m+15（100-m）=-5m+1500．
∵購買費(fèi)用不超過1160元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，

∴

解得：68≤m≤75，
∴W=-5m+1500（68≤m≤75）．

∵m為正整數(shù)，∴m=68、69、70、71、72、73、74、75，即共有8種購買方案；

（3）由（2）得：W=-5m+1500（68≤m≤75）．

∵k=-5＜0，
∴W隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=75時(shí)，W取最小值，最小值=-5×75+1500=1125，此時(shí)100-m=100-75=25．
答：購買總費(fèi)用最少的方案是購買A獎(jiǎng)品75件、B獎(jiǎng)品25件，最小費(fèi)用為1125元．