Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．
（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；
（3）如圖3，點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于點E．
∴AE=BE=．
∴BC=BE．
∴△EBC是等邊三角形；

（2）結論：AD=DG+DM．
證明：
如圖2所示：延長ED使得DN=DM，連接MN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DN，
∴△NDM是等邊三角形，
∴MN=DM，
在△NGM和△DBM中，
∵
∴△NGM≌△DBM，
∴BD=NG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．



（3）結論：AD=DG-DN．
證明：延長BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于點E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等邊三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG-ND．
分析：（1）利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形；
（2）延長ED使得DN=DM，連接MN，即可得出△NDM是等邊三角形，利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等邊三角形的性質得出∠H=∠2，進而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，根據已知做出正確輔助線是解題關鍵．