Question

如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交于M、N．
（1）試說明：FG=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）如圖2，若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，則線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況說明理由；
（3）如圖3，若BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線，則線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是

 

．

Answer 1

分析：（1）推出∠AFB=∠MFB，證△ABF≌△MBF，進一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；
（2）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，與（1）類似可以證出答案；
（3）與（1）方法類同即可證出答案．

解答：解：（1）∵BD⊥AF，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
在△ABF和△MBF中

∠AFB=∠MFB BF=BF ∠ABF=∠MBF

，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB
∴AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG，
∴FG是△AMN的中位線
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（MB+BC+CN），
=

1

2

（AB+BC+AC）．

（2）圖（2）中，F(xiàn)G=

1

2

（AB+AC-BC）
解：如圖（2），
延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵

∠AFB=∠MFB BF=BF ∠ABF=∠MBF

，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB，AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（BM+CN-BC），
=

1

2

（AB+AC-BC），
答：線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=

1

2

（AB+AC-BC）．

（3）解：FG=

1

2

（AC+BC-AB），
理由是：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵

∠AFB=∠MFB BF=BF ∠ABF=∠MBF

，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB，AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（CN+BC-BM），
=

1

2

（AC+BC-AB）．
故答案為：FG=

1

2

（AC+BC-AB）．

點評：本題主要考查了三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解此題的關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線．