Question

14．如圖1，有兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，點(diǎn)D在邊AB上，且AD=BD=CD．△EDF繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，邊DE，DF分別交邊AC于點(diǎn)M，K．
（1）如圖2、圖3，當(dāng)∠CDF=0°或60°時(shí)，AM+CK=MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依據(jù)是等腰三角形三線合一；
（2）如圖4，當(dāng)∠CDF=30°時(shí)，AM+CK＞MK（填“＞”或“＜”）；
（3）猜想：如圖1，當(dāng)0°＜∠CDF＜60°時(shí)，AM+CK＞MK，試證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先證明△CDA是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明AM+CK=MK；
（2）先證AM=MD、CK=KD，故AM+CK=MD+KD，在△MKD中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊得AM+CK＞MK；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于ED的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GK，GM，GD．證明△GDK≌△CDK后，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得GK=CK，GM+GK＞MK，從而得到AM+CK＞MK．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°時(shí)，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底邊上的垂線與中線重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
（2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK，
（3）AM+CK＞MK，
證明：作點(diǎn)A關(guān)于ED的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GK，GM，GD．

∵點(diǎn)G是點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)
∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，
∵Rt△ABC 中，D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=CD=GD．
∵∠A=∠E=30°，
∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，
∴∠GDK=∠CDK，
在△GDK和△CDK中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{GD=CD}\\{∠GDK=∠CDK}\\{DK=DK}\end{array}\right.$，
∴△GDK≌△CDK（SAS），
∴GK=CK，
∵GM+GK＞MK，
∴AM+CK＞MK．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)的應(yīng)用，將AM、CK轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中根據(jù)三邊關(guān)系來判斷AM+CK與MK的大小是關(guān)鍵．