Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N．

（1）如圖①，當(dāng)AM=BN時，將△ACM沿CM折疊，點A落在弧EF的中點P處，再將△BCN沿CN折疊，點B也恰好落在點P處，此時，PM=AM，PN=BN，△PMN的形狀是　 　．線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 　；

（2）如圖②，當(dāng)扇形CEF繞點C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是　 　．試證明你的猜想；

（3）當(dāng)扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖③的位置時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是　 　．（不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）是等腰直角三角形，（或）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，；由全等三角形性質(zhì)得，，故是等腰直角三角形，（或）．

（2）將沿CM折疊，得，連DN，則，由全等三角形性質(zhì)得，，，同理可知，

，，而，，由勾股定理得，故．（3）；解法同（2）．

解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，；

∴，，，；

∴，，

故是等腰直角三角形，（或）．

（2）；

將沿CM折疊，得，連DN，則，

∴，，，同理可知，

，，而，，∴，

∴，故．

（3）；解法同（2）．