Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)解答下列問題．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）求△BCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=3x﹣3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，

當(dāng)y=0時(shí)，x=1，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，

∴點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），

∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，

∴ ，

解得， ，

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）解：△BCD是直角三角形，

理由：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4=（x+3）（x﹣1），

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣3或x=1，此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣4），

∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，

∴點(diǎn)C（﹣3，0），點(diǎn)D（﹣1，﹣4），

∵點(diǎn)B（0，﹣3），

∴BC= =3 ，

CD= =2 ，

BD= = ，

∵ ，

∴BC2+BD2=CD2，

∴△BCD是直角三角形

（3）解：由（2）知△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， ，CD=2 ，BD= ，

∴△BCD的面積是： ，

即△BCD的面積是3

【解析】（1）根據(jù)直線y=3x﹣3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，可以求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，從而可以得到拋物線的解析式；（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以分別求得點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可以求得BC、BD、CD的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可解答本題；（3）根據(jù)（2）中的判斷，然后根據(jù)三角形的面積公式即可解答本題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．才能正確解答此題．